sábado, 26 de fevereiro de 2011

Decomposição de Vetores

Antes de falar sobre a decomposição de vetores, vamos relembrar a respeito de seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo (triângulo onde há um ângulo de 90º).

triângulo retângulo

No triângulo retângulo acima temos os catetos B e C (pois são os lados do triângulo que entre eles, formam o ângulo de 90°) e a hipotenusa A (lado que está oposto ao ângulo de 90°, que não “toca” neste ângulo).

triângulo retângulo

Seno de alfa = cateto oposto / hipotenusa
Seno de alfa = B / A

Cosseno de alfa = cateto adjancente / hipotenusa
Cosseno de alfa = C / A

Tangente de alfa = cateto oposto / cateto adjacente
Tangente de alfa = B / C

Aplica-se o mesmo raciocínio para o ângulo téta, tendo que prestar atenção qual é o cateto adjacente e oposto em relação á ele. O cateto oposto de um ângulo não é o mesmo para outro ângulo!

Sabendo isso, vamos ver como é um vetor.

vetor

Todo vetor tem tamanho, direção e sentido.

Tamanho: o quanto ele mede
Direção: está na horizontal? vertical? forma 45°?
Sentido: a “seta” é pra cima? pra baixo? direita? esquerda???

vetor no plano

Aí está o vetor F no plano cartesiano que forma um ângulo @ em relação ao eixo X (chamei o ângulo de @ ao invés de alfa, beta ou gama pra facilitar na hora de mostrar as contas).

Chegou a hora de decompor suas forças em seus respectivos eixos (em X e Y).

decomposição do vetor

Mas e agora? Como achar as forças Fx e Fy? onde uso seno, cosseno e tangente?
Resposta: Simples! Basta mudarmos a força Fy de lugar para ter uma melhor visualização.

decomposição do vetor

Pronto, formamos um triângulo retângulo onde a força F é a hipotenusa e as forças Fx e Fy são os catetos.

Sendo assim vamos analisar esse triângulo retângulo da mesma forma que o outro no começo deste post.

sen(@) cos(@)

sen(@) = Fy / F
F.sen(@) = Fy
Fy = F.sen(@)

cos(@) = Fx / F
F.cos(@) = Fx
Fx = F.cos(@)

Pronto! Simples né? (claro, fica simples depois que aprende hehe)

Caso o exercício dê as forças Fx e Fy e peça pra você achar o valor da força F, faça o mesma esquema, bastando apenas isolar a força F na fórmula.

Atenção!
Observe que o ângulo utilizado aqui é o que está entre a força F e o eixo X.

Se o exercício passar o ângulo que está entre F e o eixo Y e você ficar perdido, não conseguir usar o seno ou cosseno, calcule o ângulo entre F e o eixo X, pois entre os dois eixos, X e Y, o ângulo é de 90º. Daí é só fazer: 90 menos o outro ângulo (entre F e o eixo Y), obtendo assim o que está entre F e o eixo X (no nosso caso, o ângulo @).

E pra terminar, vamos achar quanto vale o ângulo @.

valor do ângulo

tg(@) = Fy / Fx
@ = arctg (Fy/Fx)

Esse arctg é aquele botão na calcularora que está escrito tan-¹.

Na tg, você tem o ângulo e acha o valor da tangente deste ângulo. Arctg é o contrário. Você passa o “resultado” e ela informa o ângulo. Para seno e cosseno é a mesma coisa (sen-¹ e cos-¹ na calculadora)

Obs.: Preste atenção se a calculadora está fazendo os cálculos de seno e cosseno em graus ou radianos. Sen(90) em graus é diferente de sen(90) em radianos.

Espero que a explicação tenha sido clara e objetiva.

Outra hora faço uma explicação mais detalhada, pois todo o desenvolvimento foi feito apenas com um vetor no 1º quadrante. Podemos somar vários vetores e cada um estar em um quadrante diferente, mas isso é assunto pra um outro dia.

19 comentários:

  1. Nerdzinhoooooooo!! Eu JURO que dessa vez vc se superou!! ahaha Achei que nunca mais fosse ver nada de vetores... isso me lembra aqueles problemas de física que tinha uma caixa em uma subida e tinha que decompor o P! Seu nerd! =P

    Pois é, seu niver tá chegando!! É amanhã, né???????

    Beijinhos!!!!!

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  2. huahuauhauh
    Pois é, estou vendo muito vetores esse semestre.
    Pode ser que eu faça outro post a respeito de vetores, um pouco mais aprofundado, mas vai demorar um pouco ainda.

    Chegou minha vez de ficar mais velho mesmo. Faço niver amanhã. Cabelos brancos me esperam! auhauhhuahuahu

    Bjoo maryzinha

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  3. Nerdziiiiiiiiiinhoooooooooooooo!!!!!!!!!!!!! Feliz Aniversáriooooooo!!!!!! Eu tava com um MEDO de esquecer, hahaha!! Muitas felicidades, que vc continue tirando só 10, 11, 12!! ahah Que seja mesmo muito feliz!! =))))
    Ainda bem q caiu na sexta, pq vc, pessoa baladeira que é, vai comemorar hoje, amanhã e domingo! ahahha
    Parabénsssssss mesmo!! =)!!! Adoro seu, nerdzinho!!!

    Beijinhos!!!

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  4. Obrigado pelos parabéns :)
    baladeiro? uhahuaahuaua
    vou ter uma prova de cálculo hoje como presente! Quer presente melhor? hehe
    Bjo maryzinha
    adoro vc tb!

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  5. Rapaz,
    Parabéns pela inciativa!!!
    Me ajudou bastante aki!!!
    Abrss

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  6. Gostei muuito da sua explicação,amo fisica,mas esse assunto me corroi os neurônios.. aff
    Vaaleu me ajudou mt!

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  7. Simples e eficiente, ótimo post.

    Douglas S.

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  8. Poxa, muito obrigado pela ajuda... Meu professor é péssimo para explicar vetores, e ainda quer dar TEORIA DAS ESTRUTURAS como disciplina, pode? Meu Deus, obrigado pela ajuda mesmo!!!

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  9. Amei a explicação! Valeu!!

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  10. Foi a melhor explicação que eu encontrei até agrora, simples, porém muito eficaz, parabéns!

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  11. Sem dúvida a melhor explicação! muito obrigado

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  12. Obrigado pelos comentários.

    É bom saber quando a explicação foi clara e o pessoal entendeu bem.

    Quero ver se volto a postar mais coisas, tutoriais, explicações etc. Preciso dar uma organizada no tempo livre que tenho, que anda meio apertado por conta do estágio e a facul, mas pretendo voltar a postar em breve.

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  13. Gostei da explicação. Mas tenho uma dúvida: quando encontro o ângulo @ através do arco tangente, como eu sei se devo somar 180 graus ou subtrair 360 graus para achar a direção exata deste vetor(pois o valor @ que encontramos ainda não é a direção real do vetor no círculo trigonométrico)?
    Agradeço quem puder responder.

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  14. Achei que nunca fosse aprender isso. Nesse assunto os professores adoram viajar (explicações mirabolantes) e os alunos não entendem nada.

    Valeu nerd.

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  15. Parabéns. Melhor explicação que encontrei até hoje!

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  16. não serviu pra nada!!!

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    Respostas
    1. Depende pra qual área você vai cursar.
      No meu caso, na engenharia, vetores são muito usados.
      Claro que pra quem cursa ensino médio, em sua maioria, nunca sabem as aplicações que possam vir a ter.
      Na faculdade, teve muita coisa de matemática que ví antigamente, no ensino médio, que nem faria ideia de que tivesse uma real utilidade.

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  17. nossa velho !! aprendi vetores brincando.. muito bom seu blog, parabéns , pessoas como vc deveriam existir de mil !!! vc me ajudou e muito , obrigado mesm .

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  18. Caramba, ainda não consegui entender muito bem. Hj teria uma prova de física sobre isso e outras coisas, mas eu tive que faltar por que não tava entendendo.

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